Верхний пост

В этом блоге я постараюсь изложить всяческие математические интересности, встреченные в разных книгах и статьях. Буду писать про то, что меня интересует в данный момент (сейчас это функциональный анализ и всякий digital audio processing). Также я хочу сразу извиниться за возможные неточности в изложении, так я всё же не профессиональный математик. Ну, поехали)

Comments

Гладкая сшивка кусочно-постоянной функции.

Накануне мне понадобилось найти гладкую функцию, определенную на $\textbf{R}[a,c]$, равную единице на одном отрезке числовой оси, скажем, $[a, b-\epsilon]$ и нулю на другом, скажем $[b+\epsilon, c]$. Для того, чтобы гладко склеить эти два кусочка, я решил найти монотонно убывающий многочлен $f(x)$, равный $f(0) = 1$ и $f(1) = 0$, а потом "вставить" его в отрезок $[b-\epsilon, b+\epsilon]$. Для гладкости сшивки должны выполняться условия $f'(0) = f'(1) = 0$. Я решил пойти далее и положить $f^{(n)}(0) = f^{(n)}(1) = 0$ для всех $n = 1,2,\cdots,N$. То есть первые N производных должны быть равны нулю в т. $x = 0$ и $x = 1$. Понятно, что это легко сделать при наперед известном N, но как найти общую формулу? Я некоторое время промучился над этой задачей, пока не решил её следующим способом. Пусть искомая функция $f(x) = 1 + x^{N+1}L_{1}(x)$, где $L_{1}(x)$ — некий многочлен. Тогда у нас выполняется условие $f(0) = 1$ и $f^{(n)}(0) = 0$ (так как первая производная будет...

Ресемплинг аудио.

В этом посте расскажу о ресемплинге аудио (в частности, о даунсемплинге), под чем я подразумеваю понижение частоты дискретизации, с которой был записан звук. Известно, что в компьютере непрерывный аудио сигнал представлен в виде семплов (по-русски, измерений), сделанных в равно отстоящие друг от друга промежутки времени. Например, если звук записан с частотой дискретизации 44.1 кГц, то за одну секунду было сделано 44100 семплов. Здесь я расскажу о том, как восстановить исходный непрерывный сигнал по взятым семплам и как выбирать и менять частоту семплирования (или, что то же самое, частоту дискретизации). Преобразование Фурье. Преобразованим Фурье $F(\xi)$ функции $f(x)$ называется следующая функция: $F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix\xi}dx$ обратное преобразование определено как $f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi) e^{ix\xi}d\xi$ Вопрос о том, когда существует преобразование Фурье и обратимо ли оно (т.е. работает ли вторая формула), очень сложе...

Dithering (часть 2)

В начале поста хочу рассказать о некоторой неточности, совершенной мной в предыдущем посте. А именно, "треугольно" распределенный шум берут в диапазоне $[-2\Delta, 2\Delta]$ (при этом мощность его будет $W = 2\Delta^{2}/3$). Придумали его не для того, чтобы звучать тише, а чтобы сделать первый и второй условные моменты функции ошибки $E[\epsilon^{m}|x] = \int_{-\infty}^{\infty} \epsilon^{m}p_{\epsilon|x}(\epsilon, x) d\epsilon$ независимыми от $x$. Привожу цитату из статьи Quantization and Dither: A Theoretical Survey авторов Stanley P.Lipshitz, Robert A. Wannamaker и John Vanderkooy: Now consider a triangular-pdf dither of 2-LSB peak-to-peak amplitude resulting from the sum of two independent rectangular-pdf noises $v_{1}$ and $v_{2}$, each of 1-LSB peak-to-peak amplitude (...) (...) so this dither renders both the first and second moments of the total error independent of $x$. The second moment of the total error is a constant $\Delta^{2}/4$ for all inputs, (...) Ну ...

Прикладная математика и прочее веселье

Search This Blog