Верхний пост

В этом блоге я постараюсь изложить всяческие математические интересности, встреченные в разных книгах и статьях. Буду писать про то, что меня интересует в данный момент (сейчас это функциональный анализ и всякий digital audio processing). Также я хочу сразу извиниться за возможные неточности в изложении, так я всё же не профессиональный математик. Ну, поехали)

Comments

Гладкая сшивка кусочно-постоянной функции.

Накануне мне понадобилось найти гладкую функцию, определенную на

$\textbf{R}[a,c]$ , равную единице на одном отрезке числовой оси, скажем,

$[a, b-\epsilon]$ и нулю на другом, скажем

$[b+\epsilon, c]$ . Для того, чтобы гладко склеить эти два кусочка, я решил найти монотонно убывающий многочлен

$f(x)$ , равный

$f(0) = 1$ и

$f(1) = 0$ , а потом "вставить" его в отрезок

$[b-\epsilon, b+\epsilon]$ . Для гладкости сшивки должны выполняться условия

$f'(0) = f'(1) = 0$ . Я решил пойти далее и положить

$f^{(n)}(0) = f^{(n)}(1) = 0$ для всех

$n = 1,2,\cdots,N$ . То есть первые N производных должны быть равны нулю в т.

$x = 0$ и

$x = 1$ . Понятно, что это легко сделать при наперед известном N, но как найти общую формулу? Я некоторое время промучился над этой задачей, пока не решил её следующим способом. Пусть искомая функция

$f(x) = 1 + x^{N+1}L_{1}(x)$ , где

$L_{1}(x)$ — некий многочлен. Тогда у нас выполняется условие

$f(0) = 1$ и

$f^{(n)}(0) = 0$ (так как первая производная будет...

На что влияет размер (глубина) семпла?

В этом посте я разберу ещё одну характеристику представления аудио на компьютере — размер или глубину семпла. В теореме Шеннона, с которой мы ознакомились в первом посте, сказано, что семплы нужно брать с определенной частотой, чтобы восстановить исходный сигнал. Однако, в ней ничего не сказано о том, сколько памяти компьютера нужно выделить на один семпл. По сути ней семплы — это обычные вещественные числа. В компьютере же семплы чаще всего представляются целыми числами в диапазоне от

$-2^{n-1}$ до

$2^{n-1}-1$ (целые числа со знаком), где

$n$ — количество бит на один семпл (bps, bits per sample). С количеством бит на семпл связана другая величина — динамический диапазон (или отношение сигнал-шум, что в данном случае то же самое). Он измеряется в децибелах определяется так:

$DR = 20 \lg (2^{n}) \approx 6 n$ Динамический диапазон показывает логарифм отношения самого сильного сигнала к самому слабому. Теперь, что будет, если мы выберем

$n$ маленьким? Если взять синусоидальную ...

Ресемплинг аудио.

В этом посте расскажу о ресемплинге аудио (в частности, о даунсемплинге), под чем я подразумеваю понижение частоты дискретизации, с которой был записан звук. Известно, что в компьютере непрерывный аудио сигнал представлен в виде семплов (по-русски, измерений), сделанных в равно отстоящие друг от друга промежутки времени. Например, если звук записан с частотой дискретизации 44.1 кГц, то за одну секунду было сделано 44100 семплов. Здесь я расскажу о том, как восстановить исходный непрерывный сигнал по взятым семплам и как выбирать и менять частоту семплирования (или, что то же самое, частоту дискретизации). Преобразование Фурье. Преобразованим Фурье

$F(\xi)$ функции

$f(x)$ называется следующая функция:

$F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix\xi}dx$ обратное преобразование определено как

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi) e^{ix\xi}d\xi$ Вопрос о том, когда существует преобразование Фурье и обратимо ли оно (т.е. работает ли вторая формула), очень сложе...

Прикладная математика и прочее веселье

Search This Blog